«Die Mathematik ist die Wissenschaft, welche aus der Untersuchung von Figuren und dem Rechnen mit Zahlen entstand».
Für Mathematik gibt es keine allgemein anerkannte Definition. Heute wird sie üblicherweise als eine Wissenschaft beschrieben, die selbstgeschaffene abstrakte Strukturen auf ihre Eigenschaften und Muster untersucht» (Wikipedia).
Alles im Kosmos ist Rhythmus und Zahl. Es ist die Aufgabe der Mathematik, diese Rhythmen, Muster und Zahlengesetze aufzudecken, zu strukturieren und logisch zu begründen. Zum richtigen Verständnis der Mathematik gehört abstraktes Denken, aber auch Fantasie.
Galileo Galilei sagte einmal: «Das Buch der Natur ist in der Sprache der Mathematik geschrieben». Das deutet darauf hin, dass man gültige Zahlengesetze in fast allen Bereichen des Lebens wiederfindet. Und genau das macht die Faszination dieser Wissenschaft aus. Auch die moderne Computertechnologie wäre ohne Mathematik nicht möglich.
Mathematik lernen mit interaktiven, dynamischen Arbeitsblättern (nach Klassen geordnet), das kann man auf folgender Top-Website: Realmath.com
Anhand eines konkreten Lernbeispiels möchte ich die Website «Realmath» vorstellen, um Sie auf den Geschmack zu bringen. Starten Sie HIER.
Klicken Sie oben in der Navigationsleiste auf 10. Klasse. Auf der Seite, die sich öffnet, finden Sie in der Tabelle rechts unter «Thema: Trigonometrie …. im Einheitskreis», die Rubrik «Sinus und Kosinus».
Damit sich die auf der nächsten Seite gezeigte Grafik öffnet, muss das Programm Java auf Ihrer Festplatte installiert sein. Wenn das noch nicht der Fall sein sollte, können Sie das Programm HIER kostenlos herunterladen.
Um zu verstehen, was Sinus und Kosinus sind, bewegen Sie zunächst einmal den grünen Punkt oben auf der Leiste solange, bis der Wert des Winkels α (alpha) 60° beträgt. Achten Sie dabei darauf, wie sich die beiden Längen cos α und sin α verändern.
Für einen Winkelwert von 60° beträgt der Kosinus 0,5 (und für einen Winkelwert von 24° beträgt der Kosinus 0,914).
Wie lässt sich mithilfe dieser interaktiven Grafik jetzt erklären, was der Kosinus eigentlich ist. Die Grafik zeigt, dass, wenn wir den grünen Punkt in die eine oder andere Richtung verschieben, sich der Winkel alpha verändert (er wird entweder größer oder kleiner). Und wenn wir den Winkel alpha verändern, verändert sich das Längenverhältnis zwischen der roten und der blauen Linie. In einem rechtwinkligen Dreieck sind die Längenverhältnisse der drei Seiten abhängig vom Maß der beiden spitzen Winkel. Da aber das Maß eines dieser Winkel das Maß des anderen Winkels bereits festlegt (die Winkelsumme der beiden spitzen Winkel beträgt stets 90°), hängen die Längenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck nur vom Maß eines der beiden spitzen Winkel ab.
Und deshalb gibt man den Längenverhältnissen in einem rechtwinkligen Dreieck bestimmte Namen und definiert sie in Abhängigkeit eines der beiden spitzen Winkel:
– als Hypotenuse bezeichnet man die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks; sie liegt dem rechten Winkel gegenüber.
– als Kathete wird jede der beiden kürzeren Seiten im rechtwinkligen Dreieck bezeichnet.
Die Katheten sind also die beiden Seiten des rechtwinkligen Dreiecks, die den rechten Winkel bilden.
In Bezug auf einen der beiden spitzen Winkel des Dreiecks unterscheidet man die Ankathete dieses Winkels (die dem Winkel anliegendeSeite) und die Gegenkathete (die dem Winkel gegenüberliegende Seite.
Schließlich wird der Kosinus definiert als:
Und hier nun eine Anwendung der Kosinusfunktion aus dem Bereich der Erdkunde.
Wie Sie wahrscheinlich wissen, gibt es auf der Erde ein Koordinatensystem, das dazu dient, die geografische Lage eines Punktes genau anzugeben. Dieses netzartige System besteht aus sogenannten Längen- und Breitenkreisen. Die Längenkreise, die am Nord- und am Südpol zusammenlaufen, werden von einer festgelegten Nulllinie aus gezählt, die durch die Sternwarte Greenwich in London verläuft, und zwar 180 Längenkreise (oder Längengrade) nach Westen, und 180 nach Osten.
Die Breitenkreise zählt man vom Äquator aus, und zwar 90 Breitenkreise nach Norden bis zum Nordpol und 90 nach Süden bis zum Südpol. Je weiter man sich vom Äquator entfernt, umso kleiner werden diese Breitenkreise.
Mithilfe der Kosinusfunktion lässt sich die Länge eines jeden Breitenkreises (oder Breitengrades) berechnen. Dazu multipliziert man einfach den Kosinus des betreffenden Breitengrades mit 40 000 (das ist die Länge des Äquators in Kilometern).
So beträgt zum Beispiel die Länge des 60. Breitenkreises:
0,5 x 40 000 = 20 000 km (cos 60° = 0,5)
Zurück zu unserer Mathematik-Website. Zur Wiederholung dessen, was Sie über die Kosinusfunktion gelernt haben, klicken Sie auf «Kosinus (Einführung)».
Lesen Sie die Erklärungen links auf der Seite und versuchen Sie die gestellte Aufgabe zu lösen. Klicken Sie anschließend links auf der Seite auf «Übungen zu Kosinus», um das Gelernte zu festigen.
MATHEPOWER
Einige Seiten sind zwar noch nicht komplett und die Werbung am linken Rand der Seiten müsste nicht sein, aber zum Mathe-Lernen gibt es viele interessante Übungen in einer besonderen Form. Scripte führen Berechnungen aus und zusätzliche Erklärungen zeigen, wie man schrittweise zu dem errechneten Resultat gekommen ist. Außerdem stehen auf den meisten Seiten etwas weiter unten allgemeine und ergänzende Erklärungen zur Verfügung. Zur Hauptseite gelangen Sie HIER.
Hier sind zwei einfache Beispiele zum Ausprobieren. Geben Sie diese Adresse in Ihren Browser ein:
• www.mathepower.com/kreis.php
Auf der Seite, die sich öffnet, sehen Sie rechts ein grünes Feld mit einem weißen Kreis. Wenn Sie den Cursor in das freie Feld «Radius» setzen, dann sehen Sie rechts im Kreis, was der Radius ist (rote Linie). Dasselbe gilt für Durchmesser, Umfang und Flächeninhalt. Fülle nun eines der vier Felder aus. Zum Beispiel schreiben Sie die Zahl 50 in das Feld «Radius».
Klicken Sie dann auf «berechnen». Es dauert ein paar Sekunden, und dann werden die Resultate angezeigt.
Das Script hat Folgendes berechnet:
Radius = 50
Durchmesser = 100
Umfang = 314.159
Flächeninhalt = 785.982
Scrollen Sie ein bisschen nach unten. Dort gibt es weitere Erklärungen und ein paar Flash-Animationen zum Thema «Kreis». Auf der linken Seite sehen Sie das allgemeine Auswahlmenü der Website, nach Klassen und Themen geordnet.
MATHEONLINE
Sehr komplett, vielseitig und anspruchsvoll. HIER gelangen Sie zur Hauptseite.
Es würde den Rahmen dieses Buches sprengen, wenn man das Angebot dieser Website auch nur annäherungsweise beschreiben möchte: von den Mathe-Werkzeugen (Javarechner, Excelplotter usw.) über interaktive Übungen bis zum mathematischen Lexikon, auf dieser Website ist so gut wie alles zum Thema Mathematik zu finden. Leicht verliert man sich in dem reichhaltigen Angebot.
Deshalb hier meine Empfehlung: nehmen Sie sich genug Zeit und lesen Sie zunächst einmal die ganze Einführung durch, um sich einen ersten Überblick über das Angebot zu verschaffen. Sie finden die Einführung HIER.
Auf dieser Website gibt es übrigens auch ein gutes Kapitel zum Thema: Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnen. Mithilfe von statistischen Formeln und Wahrscheinlichkeits-rechnungen werden Fragen gelöst wie:
– Auf wie viele Arten können sich 5 Personen auf 5 freie (unterscheidbare) Plätze verteilen?
– Wie oft erklingen die Gläser, wenn 10 Personen einander zuprosten?
– Ein medizinisches Symptom S kann von zwei bekannten Krankheiten A und B hervorgerufen werden (A ist selten und gefährlich, B ist häufig und harmlos), aber auch bei gesunden Menschen (C) auftreten. Wenn das Symptom bei jemandem auftritt, möchte man wissen, mit welcher Wahrscheinlichkeit er welche Krankheit hat bzw. gesund ist.
Sie werden erstaunt sein, wie vielseitig die Anwendungsbereiche der Statistik und der Wahrscheinlichkeitsrechnung sind. HIER gelangen Sie zum Grundkurs.
BR-ALPHA
Der Fernsehsender BR-Alpha bietet drei pädagogisch hervorragend gemachte Rubriken zum Thema «Mathematik» an.
1. Einen Grundkurs, bestehend aus 15 Folgen.
2. Einen weiteren Grundkurs, bestehend aus 26 Lektionen.
3. Mathematik zum Anfassen: knapp 30 Videofilme (die meisten dauern zwischen 10
und 15 Minuten).
Hier der Werbetext der entsprechenden Seite:
Mathematik ist spannend, Mathematik ist faszinierend, aber viele Menschen haben eine Hemmschwelle, sich mit der wahrscheinlich ältesten aller Wissenschaften zu beschäftigen. Diese Hemmschwellen abzubauen, ist das Ziel der Sendereihe «Mathematik zum Anfassen».
Klicken Sie zunächst HIER.
Dann in das Suchfeld der Hauptseite (ganz oben rechts) das Suchwort «Mathematik» eingeben und die Suche starten. Auf der Seite, die aufgeht (und den darauffolgenden Seiten), findest du alle oben genannten Rubriken und noch viele weitere interessante Sendungen.
GEO GEBRA
Geogebra ist eine kostenlose Mathematik-Software in französischer Sprache zum Herunterladen für Schule und da-heim mit interaktiver Geometrie, Algebra und Tabellen-kalkulation.
Zur deutschen Download-Seite gelangen Sie HIER.
Die Funktionsweise der Software können Sie lernen über die Funktion «Aide» (Help) oben im Navigationsmenü. Die interaktiven Grafiken bei realmath.de wurden übrigens mit dieser Software erstellt.
Mein Tipp: Fortgeschrittene werden sicher die Online-Kurse von Professor Jörn Loviscach zu schätzen wissen. Dazu einfach auf der Hauptseite von «Youtube» den Namen «Loviscach» eingeben und auf «Enter» drücken.
Zum Schluss möchte ich aber auch noch auf ein Rechenprogramm hinweisen, das Sie sicher interessieren wird. Es dient dazu, bestimmte Einheiten (Währungs-, Gewicht-, Leistungs-, Dichte-Einheiten und viele andere mehr) in andere Einheiten umzurechnen. Sie möchten zum Beispiel wissen, wieviel Grad Celsius 100 Grad Fahrenheit sind, wieviel «Acres» (das ist eine britisch-amerikanische Flächeneinheit) 11 Ar sind, wieviele Minuten ein Jahr enthält oder wieviele Kilometer in 10,5 Seemeilen enthalten sind und, und, und …… Sogar bestimmte Papierformate oder Schuhgrößen lassen sich umrechnen.
HIER gelangen Sie zur Hauptseite.
Unten links im Hauptmenü können Sie die Sprache Ihrer Wahl einstellen. Machen Sie folgenden Versuch, um beispielsweise 100 Grad Fahrenheit in Grad Celsius umzurechnen: klicken Sie links im Hauptmenü (unter «Sortiert nach Familien») auf «Energie» und dann im Untermenü, das sich öffnet, auf «Temperatur». Stellen Sie die Temperatur auf 100 (die Zahl 100 eingeben, im Kasten direkt unter «Ich möchte umrechnen») und sofort zeigt das Programm an, dass 100 Grad Fahrenheit 37,78 Grad Celsius sind. Im zweiten Kasten können Sie natürlich auch von «Fahrenheit» auf «Celsius» umstellen, um sich zum Beispiel anzeigen zu lassen, wieviel Grad Fahrenheit 15 Grad Celsius sind. Machen Sie weitere Versuche mit anderen Einheiten und Sie werden schnell verstehen, wie man die Rechenprogramme nutzen kann und soll.
Zum Thema «Zeitzonen» hier noch ein Tipp: im Menü links auf der Hauptseite «Sortiert nach Familien» finden Sie im Untermenü von «Zeit» einen Link «Zeitzonen», der Sie zu einer interaktiven Karte mit den Zeitzonen führt. Beispiel: Sie möchten die aktuelle Zeit in Sysdney mit der in Berlin vergleichen. Schreiben Sie in den Kasten rechts («bei Region wählen») das Wort «Sydney» und klicken dann auf «Sydney, Australien» (das wird direkt darunter in Blau angezeigt) und schon sehen Sie links die aktuelle Uhrzeit für Sydney und die dazugehörige Zeitzone auf der Weltkarte. Schreiben Sie dann in den Kasten unter dem Kreis, der noch weiß ist, das Wort «Berlin» und klicken auf «Berlin, Deutschland». Wie man die diversen Funktionen noch benutzen kann, werden Sie selbst schnell herausgefunden haben.
Viele weitere Tipps zum anschaulichen Online Lernen finden Sie in: “Autonomes Lernen im Internet – So macht Lernen Spaß” (164 Seiten; Paperback)
